第五章　特征值与特征向量

　　（一）考核知识点

　　1.实方阵的待征值和待征向量的定义、性质与计算。

　　2.同阶实方阵相似的定义与性质。

　　3.方阵的相似对角化。

　　4.实向量的内积、长度及其正交性。

　　5.正交向量组与正交矩阵。

　　6.施密特正交化方法。

　　7.实对称矩阵的正交相似对角化。

　　（二）自学要求

　　学习本章，要求熟练掌握实方阵的特征值和特征向量的定义与求法；了解特征值与特征向量的性质；清楚两个同阶方阵相似的定义和性质；理解方阵与对角矩阵相似的条件并会用相似变换化方阵为对角矩阵；会计算两个实向量的内积和向量的长度，会判定两个向量是否正交；了解正交向量组的定义，会用施密特方法把线性无关向量组化为等价的正交单位向量组；了解正交矩阵的定义、性质及其判定方法；了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；会用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵。

　　本章重点：求实方阵的特征值和特征向量；方阵可相似对角化的条件和方法；方阵的相似对角化；实对称矩阵的正交相似对角化。

　　难点：方阵与实对称矩的相似标准形的求法。

　　（三）考核要求

　　1.特征值和特征向量。要求达到“简单应用”层次。

　　1.1理解实方阵的特征值和特征向量的定义。

　　1.2理解实方阵的特征值和特征向量的性质，会求给定矩阵的特征值和特征向量。

　　2.相似矩阵的实义与性质。要求达到“领会”层次。

　　2.1理解矩阵相似的定义和相似矩阵的基本性质。

　　3.方阵相似对角化。要求达到“简单应用”层次。

　　3.1熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的充分必要条件。

　　3.2熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的一个充分条件：A有n个互不相同的特征值。

　　3.3掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法。

　　4.向量内积和正交矩阵。要求达到“领会”层次。

　　4.1清楚向量内积的定义和基本性质，会计算向量的内积。

　　4.2知道向量的长度的定义和把非零向量单位化。

　　4.3理解两个向量正交的概念，会判定两个非零向量是否正交。

　　4.4知道标准正交向量组的定义及其线性无关性。

　　4.5熟练掌握正交矩阵的定义及其性质。

　　4.6掌握线性无关向量组的施密特正交化方法。

　　5.实对称矩阵的性质。要求达到“识记”层次。

　　5.1知道实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

　　5.2知道实对称矩阵必正交相似于对角矩阵。

　　6.实对称矩阵的正交相似标准形。要求达到“简单应用”层次。

　　6.1会求实对称矩阵的正交相似标准形。