第一篇 力学

　　1.1基本概念

　　1.2 守恒定律

　　这一篇主要包括两大部分内容：一部分是运动学部分，一部分是力学部分，下面首先为同学们介绍第一部分内容：

　　运动学部分首先要了解运动学主要包括哪些物理量及这些物理量之间的关系是什么？其次要了解运动学中主要的几种运动类型，运动学中都包含哪些物理量呢？正如上面方框图中简单介绍的运动学包括的物理量主要有三个，位移、速度、加速度。

　　位移是一个矢量，表示的是质点位置的变动，等于质点质量，在某段时间内位置矢量的增量，提到位移要注意两点：（1）它是矢量，和路程的定义不同，路程是标量；（2）它和位置矢量有关，位置矢量和质点在空间的位置有关，它和时间t的函数称之为质点的运动方向。

　　速度是描述质点运动快慢的物理量，以往高中我们计算速度大小时通常利用位移除以时间，这种计算方法算出的速度为平均速度，由于物体运动的多样性及运动过程中受力的复杂性，物体运动速度是时时刻刻改变的，这就需要知道物体在某一时刻点对应的速度也就是瞬时速度。瞬时速度 为位置矢量对时间的—阶导函数。

　　其物理意义又指瞬时速度是位置矢量 对时间的变化率。

　　瞬时速率是指瞬时速度的大小，而与速度的方向无关，它是一个标量其大小 即质点运动轨迹中弧度对时间的变化率。s=s（t）为质点运动轨道的弧长函数。

　　以上解决了速度的大小，速度是矢量，因此还要明确速度的方向，关于速度的方向是这样确定的，质点在任一时刻的速度方向总是与该时刻质点所在处的轨道曲线相切，并指向前进方向。

　　加速度：描述速度变化快慢的物理量，同样是矢量，既有大小又有方向，在数值上等于速度增量和时间间隔 的比值，同样的这样计算得出的加速度为平均加速度，当时间间隔 趋近于零时，上述比值的极限值我们称它为瞬时加速度。即

　　由于速度是位矢对时间的一阶导数，所以加速度是位矢对时间二阶导数，关于位矢形成的运动方程和速度，加速度之间的导数关系一定要重点掌握。

　　下面介绍几种典型的质点运动

　　1.直线运动

　　匀速直线运动比较简单，其运动方程为 特点是速度为常量。

　　匀变速直线运动特点是加速度保持不变，运动方程 值得一提的是自由下落过程，竖直上抛，竖直下抛，运动均是匀变速直线运动，相关公式在高中学习过，书上也有详细列出，请大家参阅教材。

　　2.抛体运动

　　从地面上某点把一物体以一角度投射出去，物体在空中的运动就叫做抛体运动，抛体运动的时候抛出角度也就是初速方向通常和水平是一定角度，因此抛体运动通常可以将速度分成水平和垂直方向两个分量，相应位移也分为水平、垂直两段位移，其运动方程和其速率公式如下

　　3.圆周运动，圆周运动是一种比较常见的曲线运动，什么是圆周运动呢？简单讲质心绕某一参考点沿着圆的轨道运动，比如手里拿根绳子，绳子一端系一小球，以手为参考点，将小球摇起来，使它在一个垂直于地面的面上绕手作圆的运动，关于圆周运动又可以分为匀速率圆周运动和变速率圆周运动。

　　匀速率圆周运动，速度大小恒定，速度方向则不断变化，由于速度是矢量，所以方向的改变意味着必有加速度，其加速度为 其方向指向圆心，与速度垂直，所以是改变速度的方向而不改变速度的大小。

　　对于变速率圆周运动，质点速度的大小和方向都在改变，因此它的加速度往往有两个，一个切向加速度，一个法向加速度，前者改变速度大小，后者改变速度方向。

　　计算公式

　　此外和圆周运动还有关系的两个物理量角加速度和角速度。

　　角速度是指质点沿圆周运动时，假设走过一段弧长为S，相应的半径所转过的角度为θ，设角度随时间t的变化率就是角速度通常用ω表示，即

　　因为角速度的存在，为了避免混淆，我们通常将前面的速度称为线速度

　　4.相对运动（简单介绍）

　　下面介绍本章节的第二部分“力”，自然界力的形成很多，比如，物体由于接触而产生的压力、拉力、摩擦力，又如带电体在电场、磁场中受到的电磁力等，我们在本章节中主要涉及以下几种力：

　　A.万有引力：自然界中的任何两物体之间都存在着相互吸引，这种力我们称之为万有引力。比如地球对地面上物体的引力。那么万有引力如何进行计算呢？量化万有引力的定律我们称它为万有引力定律 ，其中r表示两物体质点间距离， 、为两物体质量，G为任何物体质量均适用的普遍常量，被称作万有引力常量，G的取值是P28.F为两物体质点间产生的万有引力。

　　值得说明的上述定律仅对质点才成立，比如如果计算两球体物之间的万有引力，公式中的r指两球心间距，

　　B.重力：地球对其表面附近的物体的引力，称之为重力，物体由于重力而产生的加速度我们称之为重力加速度，重力实质是地球对物体的万有引力，其大小计算公式 M为地球质量，r地心到物体距离，m为物体质量。

　　由此得到的重力加速度

　　可见重力加速度和物体本身质量无关，但实际计算过程中g通常不用计算，直接取值9.81m/s2，一般取9.8m/s2

　　C.弹性力：什么是弹性力呢？所谓的弹性力就是指当具有弹性的物体受到力的作用后发生形变时，物体总是对使其发生形变的物体产生力的作用，这种力就是弹性力，典型的弹性力主要有：

　　1.弹簧的弹性力：

　　弹簧弹性力是大家熟悉的，弹簧弹性力的量化也就是计算公式： 这是R为劲度函数，其单位为N/m，x为位移式中负号表明力和位移方向相反。

　　2.正压力

　　一个物体和另一个物体接触，比如一个物体静止摆放在桌面上，由于重力作用，它将对桌面产生一个压力，这个压力就是一种正压力，它通常没有明确的计算公式，而需要根据实际发生的情况，受力分析计算。通常和物体质量有关系。

　　3.绳中张力

　　当绳子受到拉伸的时候，它会因为略有伸长而形成弹性力，这种拉力的方向沿绳长方向，这种弹性力不仅作用在绳子的两端连结的物体上，同时也存在绳子的内部。我们把这种拉紧的绳中任一截面两侧的两部分通过截面的相互作用力称之为该截面处张力。值得注意的是，如果绳子可以忽略质量的话，则不论绳子静止还是运动着的，绳中各处张力相等并且等于绳子两端所受外界给予的拉力的大小。如果绳子的质量不能忽略，则张力还和绳子的加速度有关，这一点要注意，尤其是在解有关张力的计算题时，一定要看清楚题中条件。

　　D.摩擦力

　　静摩擦力是指两物体没有相对运动但有相对运动趋势时产生的摩擦力。例如静摩擦力可以是从零到某个更大值之间的任一数值，我们将这个更大值称更大静摩擦力，其计算公式 H0—静摩擦系数，N—正压力

　　注意：该式只计算的是更大静摩擦力，对其它处于更大值和零之间静摩擦的只能根据实际情况受力分析确定。当物体之间因为滑动而产生的摩擦力，我们称之为滑动摩擦力，其计算公式 H滑动摩擦系数。

　　上面我们介绍了几种常见的力和常见的几种运动，那么物体受到的力和物体的运动到底有没有关系？如果有，那么应该遵循一个什么样的定律呢？这就引出了牛顿三个重要定律：

　　牛顿第一定律：“任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被近改变这种状态”这一定律的实质是告诉我们力的作用能够迫使物体改变运动状态，揭示了力和运动的关系。那么这一关系如何得到量化呢？这就是牛顿第二定律。

　　牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a的大小与外力F的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向和外力相同，其数学表达式这一定律将力 和运动学中物理量加速度 联系在一起，明确了它们之间的数量关系，这是非常重要的一个定律，是我们习题求解时常用到的。

　　牛顿第三定律讲的是作用力和反作用力，因此又被称为作用力和反作用定律

　　若物体A以力F1作用于物体B，则同时物体B以力 作用于物体A，这两个力的大小相等，方向相反，两力作用在同一条直线上，如果F1、F2之间中有一个力称为作用力，则另一个力叫作反作用力，关于牛顿第三定律需要强调的是：

　　作用力和反作用力总是同时存在的

　　作用力和反作用力是作用在不同的物体上

　　作用力和反作用力是属于同一种类型的力

　　守恒定律这部分主要包括动量守恒定律和能量守恒定律。

　　首先我们来介绍动量守恒定律，从四个方面来介绍：

　　1.质点的动量守恒定律

　　和质点动量守恒定律相关的物理量主要有两个“动量”“冲量”什么是物体的动量呢？

　　物体的质量m和其速度v的乘积称为物体的动量，通常用P表示，动量是一个矢量，单位kg.m/s，冲量是指力在时间上的累积作用。通常用I表示，单位N？S.这是一个矢量，其计算公式

　　牛顿第二定律 指明了受力物体所受的力和加速度关系，但是这里的力是瞬时作用，物体的运动状态也是该瞬时的变化趋势，那么假使力不是瞬时的而是持续作用一段时间会产生什么现象呢？

　　根据

　　推知

　　左右积分

　　容易观察等式左侧为冲量定义，右边为状态改变前后动量差值，这说明力在时间上累积效果是使受力物体获得了动量变化，这就是动量定理。

　　2.质量系数的动量定理

　　首先要正确理解质点系的概念，上面介绍的动量定理通常以一个物体为研究对象得出的，假如说现在有若干个物体，它们存在相互作用，不言而喻，对这若干个物体中的每个物体单独而言，上述动量定理是适用的，如果现在我将这若干个物体看作一个整体，那么动量定理对这个整体是不是还成立呢？如果成立，满足什么条件？这就是质点系的动量定理。

　　所谓质点系就是指将相互作用的若干物体看成一个整体，当每个物体被看成质点时，这个整体就是质点系，亦称系统。

　　系统中质点与质点相互作用力称为内力

　　系统外的其它物体对系统任一质点的作用力称为外力，有了这些定义就可以明白质点系的动量定理。

　　质点系动量定理：作用在系统上的外力的总冲量等于系统总动量的增量，系统总动量增量等于系统中所有质点的动量增量的和。

　　当质点系所受外力为零或不受外力作用时，系统总动量保持不变——动量守恒定律

　　3.质点绕某一参考点转动时动量定律

　　在这种情况下的动量定理一般被称为质点的角动量定理，相应的动量守恒定律被称为角动量守恒定律，一定要注意质点绕某一参考点转动的条件。

　　首先我们要学习两个新的物理量，角动量和力矩。

　　角动量定义为：位矢和质点动量的向量积 大小： ；方向：垂直于 和 决定平面，指向右手螺旋定则判定。

　　当质点作圆周运动时 ，R为园周半径

　　力矩定义为：位矢和力的向量积

　　数值

　　方向垂直于 和 决定平面，指向按右手螺旋定则，单位N.m

　　有了上面两个概念，我们就可以了解质点绕某一参考点转动的条件下的角动量定理了，“作用在质点上的合外力矩等于质点角动量的变化率”如果质点或质点系所受外力矩的矢量和为零，则此质点系或质点的角动量保持不变，这就是质点绕某一参考点转动的条件下的角动量定律。

　　4.刚体绕固定轴转动条件下的动量相关定律

　　首先要了解什么是刚体？

　　刚体是指具有一定形状和大小，但不发生形变的物体，特征是刚体内任何两点之间的距离，在运动过程中保持不变，刚体不能简化为质点虽然刚体是对实际物体的一种理想化模型，正因为如此，刚体条件下的动量定理，动量守恒定律在形式上的表达式发生了改变，为了了解刚体条件下动量定理和动量守恒定律的形式，同样要先学习几个新的物理量。

　　①转动惯量：想象一下，将刚体分割成无数个小块，每个小块运动规律可以适用质点的运动规律，这样的小块我们称它为质元

　　转动惯量是各质元质量和其到转轴垂直距离平方的乘积之和

　　②刚体角动量Iw，w为角速度，不同于转动质点的角动量；

　　③冲量矩：力矩和其作用时间乘积，刚体在合外力矩M作用下获得角加速度与合外力矩大小成正比，并与转动惯量成反比。此定律为刚体的定轴转动定律。

　　刚体的角动量定理，转动刚体所受的冲量矩等于这刚体在这段时间内角动量的增量。

　　角动量守恒定律

　　当合外力矩为零时，刚体角动量保持不变。

　　上面我们介绍了不同情况下的动量定理和守恒定律，注意在使用时一定要对应使用的情况，不同情况使用不同条件下的相关定律，下面我们介绍和能量相关的定理和守恒定律。为此首先介绍几个相关概念。

　　功：力是力沿质点位移方向的分量和质点位移大小的乘积。

　　功能： v为速率

　　势能：物体在保守力作用下的每一个位置时贮存的一种能量这种能量叫势能。那么什么又叫保守力呢？保守力是指作功和路径无关的力，具有这种特点的力主要有万有引力、弹性力、重力，对应的势能就有重力势能、万有引力势能、弹性势能，相应的计算公式这里h、r、x均为高度、距离、位移，有了上述相关定义，我们就可以学习功能定理和功能原理以及机械能守恒定律了，对于单质点来讲，所谓功能定理就是说合力对物体所作的功等于物体功能的增量。对于质点来讲是说质点系的功能的增量等于所有外力的功和内力的功的代数和，即。由于作功的力包含保守力和非保守力，根据保守力作功特点，它和势能有关，由于势能代表一种能量，因此实际上常常将势能和动能的和称之为机械能。在这种情况下，上述功能定理的形式就变为

　　这就是功能原理，这里E、E0代表质点运动过程中的机械能。即质点系在运动过程中，它的机械能增量等于外力的功和非保守力所作的功的和。

　　此原理提示我们在利用功能原理作题的时候，如果出现保守力，要注意，利用功能原理。

　　由功能原理我们知道，一个系统的机械能可以通过外力对系统作功而发生变化，也可以通过系统内部的非保守力作功而发生变化，如果在一个系统的运动过程中，外力对系统作功为零，同时系统内又没有非保守力作功，则在运动过程中的机械能保守不变，此即机械能守恒定律。

　　典型习题

　　1.一质量沿x轴运动，运动方程 x的单位为m，t的单位为s，求质点（1）出发时（t=0）时的位置和速度（2）t=1s和3s时的速度大小和方向的速度为零的时刻和回到出发点的时刻。

　　2.质点沿x轴运动，其速度与时间关系公式 已知t=0时刻质点位于质点右方（+x）方向20m处。求（1）t=2s时质点的位置；（2）此时质点的加速度。

　　3.一质量m=50时的木箱放在水平地面上，受到与水平仰角600角的拉力F作用而沿水平地面滑动，木箱与地面间的滑动摩擦系数为u=0.20，若欲使木箱匀速运动，求拉力F应多大？并求木箱对地面的正压力。

　　4.质量为m的重物，沿倾斜角 的粗糙平面斜坡下滑，重物与斜坡之间的滑动摩擦系数μ=0.30，求重物F滑的加速度和重物对斜坡的正压力？

　　5.在河水速度 的地方有小船渡河，如果希望小船以 的速度垂直于河岸横渡，问小船相对河水的速度的大小和方向应如何？

　　6.质量为m=0.2kg的小球以 的初速度与地面法线成α=300角的方向射向水平地面，然后沿与法线成β=600角的方向弹起，碰撞时间0.01S，设地面光滑，求小球沿地面的平均冲力。

　　6.用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率圆周运动，其半径 ，角速度 .现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳，使半径逐渐减少，求当半径缩为r时小球的角度。

　　8.计算半径为R，质量为m的匀质圆需对通过盘心并与盘面垂直的固定轴的转动惯量。

　　9.质量为 kg的子弹，以400m/s的速度水平射穿一块固定的木板，子弹穿出板后速度变为100m/s，求木板阻力对子弹作功？

　　10.质量m=2kg的物体沿一圆弧形轨道从a点静止下滑到b点，到达b点的速率 ，已知圆弧半径为R=4m，求物体从a点到b点摩擦力作功为多少？

　　11.质量为m的单摆，由长为l的细绳挂起，在竖直平面内摆动，已知当摆角为θ时摆锤的速率为零，求摆锤在更低点速率，空气阻力不计。