初等数论（2013）自学考试大纲

　　一、 性质与学习目的

　　《初等数论》是数学与应用数学专业的专业课。初等数论是主要用算术方法研究整数性质的一个数论分支，它是数学中更古老的分支之一。它在很多数学分支以及科学领域如：计算数学、运筹学、编码学、计算机科学、通讯技术、试验设计、物理学、生物学等等都有重要应用。初等数论也是与中学数学联系更紧密的课程之一。

　　通过本课程的学习，应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的数论基本理论和基本方法，为一些后继课程《高等代数》、《近世代数》打下良好的基础，并培养学生良好的运算和逻辑思维能力。

　　二、课程内容与考核目标

　　初等数论也称为整数论，主要研究整数的性质和方程的整数解，是数学基础理论的一个重要分支。本课程主要介绍初等数论的一些基本概念和基础知识，如整数的可除性理论、同余理论、同余方程、不定方程等。

　　通过本课程的学习，学生应了解《初等数论》这门课程的性质、地位、研究对象、内容、研究方法、知识架构、学科进展、未来发展方向及数论在科学技术中的一些应用。理解这门课程的基本概念、基本性质，掌握这门课程中处理问题的一些基本方法和计算与证明的一些基本技巧。

　　（一）  整数的可除性

　　1、课程内容

　　（1） 整除的概念与性质、带余数除法；

　　（2） 更大公因数与更小公倍数、辗转相除法；

　　（3） 质数、算术基本定理；

　　（4） 函数 及其在数论中的一个应用（求 （ 较小）的标准分解式）。

　　2、课程难点

　　函数 的概念及其应用。

　　3、考核要求

　　（1）识记并理解整除、更大公因数、更小公倍数、互质、两两互质、质数的概

　　念和性质，理解带余数除法和算术基本定理的意义及作用。

　　（2）掌握并能应用辗转相除法求更大公因数、更小公倍数，理解 Eratosthenes筛法造素数表的原理。

　　（3）理解并掌握函数 ， 的概念和基本性质，会判断一个正整数是否为质数；会解含[x]及{x}的方程；会求 （ 较小）的标准分解式。

　　4、考核目标

　　理解并掌握整除的概念和性质，以及与整数的整除性理论相关的基本概念和基本方法。

　　（二）不定方程

　　1、课程内容

　　（1）二元一次不定方程；

　　（2）多元一次不定方程；

　　（3）勾股数；

　　（4）费马问题简介。

　　2、课程难点

　　二元一次不定方程的解法和勾股不定方程解的结构。

　　3、考核要求

　　（1）识记并理解不定方程的基本概念；

　　（2）熟练掌握二元一次不定方程的解法和勾股不定方程解的结构，掌握二元一次不定方程与多元一次不定方程解的关系，会解三元一次不定方程和简单的高次不定方程，会应用不定方程解某些实际问题。

　　（3）识记费马大定理及其证明过程产生的意义，无穷下降法的基本思想和基本方法。

　　4、考核目标

　　掌握二元一次不定方程有整数解的条件及其解法，以及一些其它类型的不定方程的解法或解的结构。

　　（三）  同余与同余式

　　1、课程内容

　　（1）同余与同余式的概念及其基本性质；

　　（2）剩余类及完全剩余系；简化剩余系与欧拉函数；

　　（3）欧拉定理、费尔马定理及其对循环小数的应用；

　　（4）一次同余式与孙子定理；

　　（5）高次同余式与质数模的同余式。

　　2、课程难点

　　孙子定理及其应用。

　　3、考核要求

　　（1） 识记并掌握同余、同余式的基本概念及其基本性质；

　　（2） 熟练掌握剩余类、完全剩余系、简化剩余系和欧拉函数的概念及其性质；

　　（3） 熟练掌握欧拉定理、费马定理，并会运用定理进一步讨论循环小数的性质和证明某些同余问题；

　　（4） 熟练掌握一次同余式的解法和孙子定理，会应用孙子定理求解简单同余式组。掌握高次同余式、质数模的同余式解的定理及其联系，同余式的次数与解的个数之间的关系， 次同余式有 个解的条件。会解一些简单的高次同余式。

　　4、考核目标

　　理解并掌握与同余、同余式相关的基本概念，基本性质以及相关的理论、某些同余式、同余式组的一些基本解法。

　　（四）二次同余式与平方剩余

　　1、课程内容

　　（1）二次同余式的概念及其化简；

　　（2）平方剩余与平方非剩余的概念及其性质；

　　（3）勒让得符号、雅可比符号的概念、性质及其应用；

　　（4）二次同余式有解的判别条件及其解法。

　　2、课程难点

　　二次同余式有解的判别条件及其解法。

　　3、考核要求

　　（1）理解一般二次同余式的化简过程；

　　（2）识记并理解平方剩余、平方非剩余的概念及其相关性质，熟练掌握奇质数 的平方剩余和平方非剩余的欧拉判别条件，会求模 的平方（非）剩余；

　　（3）正确理解勒让德符号和雅可比符号的概念、区别和联系，会应用二次反转律等性质求平方（非）剩余；

　　（4）掌握合数模二次同余式有解的条件和解的个数定理，会求合数模的二次同余式；

　　（5）识记二次反转律的证明过程。

　　4、考核目标

　　理解一般二次同余式的化简过程，掌握二次同余式有解的条件、求解方法以及相关的知识。

　　三、有关说明和实施要求

　　1、考生应理解并掌握初等数论中各部分知识的结构及知识的内在联系；学会初等数论中一些常用的基本方法；应具有一定的运算能力、逻辑推理能力；能运用所学基本概念、基本理论和基本方法准确地进行计算和推理证明；能综合运用所学知识解决一些简单的实际问题。考试从三个层次上对考生进行测试，较高层次的要求为“会应用”，其次是“掌握”和“理解”，较低层次的要求为“识记”。其含义：识记，指学生对所学概念、定理能够完整表述，对定理的使用范围清楚等；理解，指学生对所学知识有较深入的认识，并能在有关问题中认识或再现它们；掌握，指学生能深刻认识所学知识，并在此基础上能够正确使用它们；会应用，指学生能准确熟练地应用这些知识要求推理证明及解决相关问题。

　　2、  考试形式与试卷结构

　　考试采用闭卷、笔试形式，考试时间为150分钟，全卷满分为100分。

　　试卷包括单项选择题、填空题、计算题和证明题。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出过程；计算题和证明题均应写出文字说明、演算步骤或推理过程。命题的原则：题目数量多、范围广，基础知识一般要占50%左右，稍难的题目要占35%左右，较难的题目占15%左右。

　　3、自学方法指导：本课程的技巧性强，计算量大。这就要求自学者全面把握基本理论和基本概念，通过大量的例题、习题，切实掌握初等数论的基本概念和基本知识，基本方法和技巧。

　　4、对助学的要求： 第一、社会助学者应根据大纲规定的考试内容和考核目标，认真钻研指定教材，明确本课程与其它课程的不同特点和学习要求，对自学应考者进行切实有效的辅导，引导他们防止自学中的各种偏向，把握社会助学的正确方向；第二、要正确处理基本知识和应用能力的关系，努力引导自学应考者将识记、理解、掌握、会应用联系起来，把基本知识转化为解决问题的能力，在辅导的基础上，帮助自学应考者建立用系统的观点进行分析问题和解决问题的能力；第三、要正确处理重点和一般的关系。课程内容有重点和一般之分，但考试内容是全面的，而且重点与一般是相互影响的，不是截然分开的。社会助学者应指导自学应考者全面系统地学习教材内容，掌握全部考试内容和考核知识点，在此基础上再突出重点。总之，要把重点学习同兼顾一般结合起来，切勿孤立地抓重点，把自学应考者引向猜题、模拟题。

河北省《初等数论》课程自学考试模拟试卷

　　一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效）

　　1、下列四个数中（  ）是质数。

　　（A）  677；（B）678；（C）6721；（D）1904

　　2、下列结论正确的是（  ）

　　（A） ； （B） ；

　　（C） ； （D）若x不是整数，则

　　3、已知两个正整数的更大公因数是7，更小公倍数是105，则这两个数是（  ）

　　（A）7，105；  （B）21，35；  （C）17，35；  （D）7，105或21，35

　　4、30！的末尾有（  ）个0.

　　（A）  6； （B）7；  （C）8；  （D）9

　　5、今天是星期一，问再过 天是星期几（ ）

　　A  星期二B  星期三  C星期四  D星期五

　　6、模5的绝对更小完全剩余系（  ）

　　A  0，1，2，3，4B  1，2，3，4，5  C  -1，-2，-3，-4，-5  D  -2，-1，0，1，2

　　7、欧拉函数 =（）

　　A  6 B  12C  4 D  3

　　8、一次同余式 不整除 有解的充分必要条件是（）

　　A.  B. C. D.

　　9、下列同余式中，无解的是 （　　）

　　A.          B.

　　C.          D.

　　10、 其中 是一个质数，而 不整除 ，则此同余式的解数不超过　（　　）

　　A. 　　　B. 　　C. 　　　D.

　　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。）

　　1、 a是两位数，a除310余数为37，则a=.

　　2、若n是正整数，且 ，且 ，

　　则这样的n有  个。

　　3、已知三个质数之积恰好等于它们和的7倍，则这三个质数是.

　　4、 （mod 5）

　　5、若 ， 是两个互质的正整数，则 = .

　　6、假设 是质数，并且 ，当 是奇数时，.

　　7、一次同余式 不整除 有两个解的充分必要条件是

　　8、若 ， 除 所得余式的一切系数都是 的倍数，则同余式 有  个解。

　　9、设 是一个单质数，当 时， =

　　10、当 ， 时，同余式 有 解。

　　三、计算题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）

　　1、甲、乙、丙三人到李老师那里学钢琴，甲每6天去一次，乙每8天去一次，

　　丙每9天去一次，如果甲、乙、丙三人8月17日在李老师处见面，那么

　　他们三人下一次在李老师处见面的时间是几月几日？请计算出来。

　　2、求 的一切整数解。

　　3、求欧拉函数 的值。

　　4、解同余式 .

　　5、解同余式组

　　6、解同余式组

　　7、判断同余式 是否有解， 其中71是质数。

　　8、解 .

　　四、证明题（本大题共3个小题，第1、2小题每小题6分，第3小题8分，共20分）

　　1、求证：对任何大于1的自然数n， 是合数。

　　2、假如 是任意二个不同的质数，证明 .

　　3、若 是使 成立的更小正整数，且 　　　　　　　　　　特别地

河北省《初等数论》课程自学考试模拟试卷参考答案和评分标准

　　一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。）

　　1、A2、D  3、D  4、B  5、D  6、D  7、C  8、A  9、C  10、D

　　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。）

　　1、39或91 ；  2、 16 ；  3、3，5，7 ；  4、4； 5、 ；

　　6、0 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、4

　　三、计算题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）

　　1、甲、乙、丙三人到李老师那里学钢琴，甲每6天去一次，乙每8天去一次，

　　丙每9天去一次，如果甲、乙、丙三人8月17日在李老师处见面，那么

　　他们三人下一次在李老师处见面的时间是几月几日？请计算出来。

　　解：∵[6，8，9] = 72，（2分）

　　∴ 8月17日他们三人见面后，再过72天再见面，

　　∴在李老师处再见面的时间是10月28日。（5分）

　　2、求 的一切整数解。

　　解： 的一个特解（2分）

　　故原方程的一切整数解为：

　　或（5分）

　　3、求欧拉函数 的值。

　　解：  .  （5分）

　　4、解同余式 .

　　解： 同余式有解。将同余式约去公因数3得，

　　。（2分）

　　， ，即

　　，

　　所以 为所求。 （5分）

　　5、解同余式组

　　解： 它们两两互素。 由此，（2分）

　　解 ，即 得 .再分别解 得 由孙子定理知解为 （5分）

　　6、解同余式组

　　解： 第一个同余方程有解且解数为2， 解之得： . 因此， 原同余方程组的解就是以下两个同余方程组的解：

　　和 . （2分）

　　前一个同余方程组的解是 ，后一个同余方程组的解为 ，所以，原同余方程组的解数为2，其解为 .（5分）

　　7、判断同余式 是否有解， 其中71是质数。

　　解：已知 为质数， . ，（2分）

　　。 ，即原同余式无解。（5分）

　　8、解 .

　　解： 因为 ，故所给同余式有四个解。把 写成 ，代入所给同余式得 ，从而得 ，故 是适合 的一切整数。 （2分）

　　再代入同余式得 ，由此得 ，故

　　是适合 的一切整数，仿前由 得 ，故 是适合 的一切整数，因此所求的四个解为

　　即 .（5分）

　　四、证明题（本大题共3个小题，第1、2小题每小题6分，第3小题8分，共20分）

　　1、求证：对任何大于1的自然数n， 是合数。

　　证明：∵

　　（3分）

　　∵

　　∴

　　∴ 是合数 .（6分）

　　2、假如 是任意二个不同的质数，证明 .

　　证明： 因为 ， 由欧拉定理 ， 又 ， 故 .（3分）

　　同理 ， 由 ， 故 .

　　（6分）

　　3、若 是使 成立的更小正整数，且 　特别地，

　　证明；若d不整除n ，设n=dq+r ，0<r<d ，则

　　与d的更小性矛盾，故d|n .  （4分）

　　又因为 故（a ，m）=1，由Euler定理 　故

　　（8分）

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